Représentation d’un triangle rectangle ABC en C.

Au Géométrie euclidienne, une Rectangle triangulaire est un Triangle dont l’un des angle est Loi. Les deux autres angles sont alors complémentairestrictement plus petit[1]. Nous appelons alors Hypotension le côté opposé à l’angle droit. Les deux autres côtés à côté de l’angle droit sont appelés Cathets.

L’hypoténuse est alors le côté le plus long du triangle, et sa longueur est reliée à celle des deux autres côtés par le Théorème de Pythagore. Cette relation est caractéristique même des triangles rectangles. Pour les triangles pleins, cela conduit à la définition de Triplés de Pythagore.

Théorème de Pythagore[modifier | modifier le code]

Le théorème de Pythagore dit que dans un triangle rectangle le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres longueurs des côtés de l’angle droit, c’est-à-dire s’il s’agit d’un triangle abc est un rectangle dans C.alors

UNEB.2=C.UNE2+C.B.2{ displaystyle AB ^ {2} = CA ^ {2} + CB ^ {2}}

.

L’inverse de chaque triangle abc La vérification de l’égalité précédente est un triangle rectangle dans C..

air[modifier | modifier le code]

Puisqu’un triangle rectangle peut être réalisé comme la moitié d’un rectangle créé par les deux lignes, l’aire d’un triangle rectangle est la moitié du produit des longueurs de ces deux côtés.

Inversement, si l’aire d’un triangle est le produit de la longueur de deux côtés divisée par 2, ce triangle est perpendiculaire au sommet commun à ces côtés.

Cercle circonscrit[modifier | modifier le code]

Médiane de l’angle droit d’un triangle rectangle

Si un triangle est rectangle, le centre de l’hypoténuse est équidistant des trois points d’angle, c’est-à-dire qu’il est le centre de la cercle circonscritou que la médiane de l’angle droit est la moitié de la longueur de l’hypoténuse[2].

A l’inverse, chaque point d’un cercle forme un triangle rectangle aux extrémités d’un diamètre de ce cercle.

Cette équivalence peut être considérée comme un cas particulier Jeu d’angle moyen : L’angle de lettrage est correct lorsque l’angle central est plat.

hauteurs[modifier | modifier le code]

Triangle rectangle et hauteur du pied

le la taille Le résultat de l’angle droit d’un triangle rectangle a des propriétés caractéristiques, dont l’une apparaît sur les premières pages du livre de René Descartes, géométrie.

Dans tout triangle ABC où H est le pied de la hauteur de C.

  • Si le triangle en C est correct, alors[3] ::
    • H appartient à [AB] et CH2 = HA x HB;
    • H appartient à [AB] AC2 = AH x AB;
    • H appartient à [AB] et BC2 = BH x AB;
    • CH x AB = CA x CB.
  • Inversement, un triangle dans lequel l’une de ces quatre propriétés est réalisée est un C-rectangle.

Les trois premières propriétés sont dérivées de l’observation des trois triangles similaires ABC, CBH et ACH. Le quatrième est d’écrire l’aire du triangle rectangle, en prenant BC et BA comme base l’un après l’autre.

Les réciproques utilisent les mêmes outils: les premières équations traduisent comme des relations, et la présence d’un angle droit ou d’un angle commun confirme l’existence de triangles similaires. Donc, certains sont des rectangles.

De toute évidence, l’orthocentre d’un triangle rectangle est le sommet où se trouve l’angle droit.

Dans un triangle rectangle, la hauteur résultant de l’angle droit a une longueur HC qui correspond à la somme des rayons des cercles inscrits chacun dans le triangle rectangle initial ABC et des deux triangles rectangles délimités par la hauteur. Quand nous appelons r le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC, r1 celle du cercle inscrit dans le triangle AHC, r2 celle du cercle inscrit dans le triangle BHC et H la hauteur CH, sur une :

La hauteur H, les rayons r, r1 et r2 sont liés par les relations:

Hr1=uner{ displaystyle { frac {h} {r_ {1}}} = { frac {a} {r}}}

et

Hr2=br{ displaystyle { frac {h} {r_ {2}}} = { frac {b} {r}}}

et

Bissecteur[modifier | modifier le code]

Triangle rectangle et son cercle étiqueté

Dans chaque triangle rectangle il y a le bissecteur Rendez-vous en un point O le centre du cercle marqué du triangle. Le rayon de ce cercle étiqueté est égal à la moitié de la circonférence moins l’hypoténuse (voir schéma), c’est-à-dire H. Avec les mêmes notations:

r = AB + BC + CA./.2 – UN B .

On les trouve Théorème de Carnotappliqué au triangle rectangle en C, où r est le rayon du cercle étiqueté et R = DE/.2 celle du cercle circonscrit:

CA + CB/.2 = r + R et CA + CB = AB + 2 r

Le rayon r du cercle d’étiquette correspond également à deux fois l’aire du triangle divisée par la circonférence.

Ces triangles sont uniques à l’exception de la similitude.

Rectangle triangle isocèle[modifier | modifier le code]

le demi carré est un triangle rectangle isocèle. Ses deux angles aigus mesurent 45 ° et le rapport entre son hypoténuse et chacun de ses cathéters est 2.

Triangle 3-4-5[modifier | modifier le code]

Le triangle 3-4-5 est un triangle dont les côtés mesurent respectivement 3, 4 et 5 unités. C’est le triangle rectangle complet avec l’hypoténuse minimale et le seul triangle dont les longueurs de côté suivent un cours arithmétique. Cette forme est utilisée pour obtenir un angle droit avec le 13 nœuds de corde.

Triangle de Kepler[modifier | modifier le code]

le Triangle de Kepler est le seul triangle rectangle dont les longueurs latérales suivent une trajectoire géométrique. La raison de cette avancée est la racine carrée de Nom d’or.

Demi-triangle équilatéral[modifier | modifier le code]

Le demi-triangle équilatéral a des angles de 90 °, 60 ° et 30 °. C’est le seul triangle rectangle dont les angles suivent une suite arithmétique.

décomposition[modifier | modifier le code]

Chaque triangle non plat peut être décomposé en deux triangles rectangles, qui permettent une hauteur intérieure comme côté commun (par exemple celui qui résulte d’un sommet avec un angle maximum).

Ce principe permet de réduire les problèmes de pavage avec des polygones à des problèmes de pavage avec des triangles rectangles.

Composants dans un système de coordonnées orthonormé[modifier | modifier le code]

Dans une orthonormé

((Ö,je,ȷ){ displaystyle (O, { vec { imath}}, { vec { jmath}})}

si un point M. est projeté après H. sur l’axe

((Ö,je){ displaystyle (O, { vec { imath}})}

et après je sur l’axe

((Ö,ȷ){ displaystyle (O, { vec { jmath}})}

alors OHM et OMI sont des triangles rectangles.

Trigonométrie dans le triangle rectangle[modifier | modifier le code]

Un triangle rectangle a un angle droit et deux angles aigusau moins en géométrie euclidienne (sur une balleil y a des triangles avec deux et même trois angles droits).

Deux triangles rectangles avec l’un des leurs angle ne sont pas égaux comment : Le rapport des deux côtés du triangle rectangle ne dépend donc que d’un angle non droit. Avec cette propriété, vous pouvez utiliser le fonctions trigonométriques pour un angle aigu non orienté dont le degré en degrés est compris entre 0 et 90 ° (ou en radians entre 0 et π / 2). Par exemple, pour un triangle ABC à droite en C:

  • les cosinus de l’angle α est le rapport du côté de l’angle droit à côté de α passant par leHypotensionou cos (α) = AC/.DE ;;
  • les Sinus de l’angle α est le rapport du côté de l’angle droit à α passant par l’hypoténuse, c’est-à-dire sin (α) = avant JC/.DE ;;
  • les tangente de l’angle α est le rapport du côté de l’angle droit à α par côté de l’angle droit en plus de α, tan (α) = avant JC/.AC.

Triangle de Pythagore[modifier | modifier le code]

Le triangle 3-4-5, un exemple bien connu de triangle rectangle de Pythagore

Un triangle rectangle, dont les trois côtés sont mesurés par des nombres entiers (pour la même unité de mesure), est appelé un triangle de Pythagore. Parlez Théorème de PythagoreLes longueurs des trois côtés d’un triangle de Pythagore donnent un Triplet pythonagorique, c’est un triplet de nombres entiers ((X, Y., Avec) Cocher différent de zéro X2 + Y.2 = Avec2. En inversant le même théorème, un triplet de Pythagore permet la construction d’un triangle de Pythagore.

Surtout pour un entier n supérieur ou égal à 3 on peut construire un triangle rectangle avec la longueur d’un côté de l’angle droit mesurée par ce nombre nLes deux autres côtés sont mesurés à l’aide de nombres entiers:

  • Et n est un nombre pair, n = 2kil suffit de prendre la même longueur de l’autre côté de l’angle droit k2 – 1. L’hypoténuse a alors la même longueur k2+1.
  • Et n est un nombre impair, n = 2k +1, il suffit de prendre la longueur de l’autre côté de l’angle droit égale à 2k2 + 2k. L’hypoténuse a alors une longueur de 2k2 + 2k + 1.

On sait décrire généralement tous les triplets et donc tous les triangles, Pythagore. Fermat a démontré qu’aucun de ceux-ci ne pourrait avoir un carré parfait pour sa région.

Spirale par Theodore[modifier | modifier le code]

La bobine du Théodore se compose d’une série de triangles rectangles, dont chacun permet un cathéter de longueur 1 et l’autre est défini par l’hypoténuse du triangle précédent. Le triangle de départ est isocèle à droite. La séquence des longueurs des hypoténuses est composée des racines carrées des nombres naturels. Cette spirale rend hommage à Théodore de Cyrène qui aurait montré que les racines carrées des premiers entiers étaient (autres que les carrés parfaits) irrationnel.

Triangle tétraèdre[modifier | modifier le code]

UNE Tétraèdre s’appelle un triangle lorsque trois de ses faces sont des triangles rectangles au même sommet. le Phrase Guas Puis généralisez le théorème de Pythagore en déclarant que le carré de l’aire de la dernière aire est la somme des carrés des aires des trois autres.

Triangle rectangle sphérique[modifier | modifier le code]

Représentation d’un triangle triangulaire.

Au géométrie non euclidienneun triangle rectangle sphérique peut avoir deux ou trois angles droits[4].

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