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Nous étudions un phénomène dans lequel nous mesurons la durée de vie aléatoire par une variable aléatoire continue X sur (on considère le début de l’étude comme le temps 0), on peut alors supposer, sous certaines conditions, que ce phénomène « ignore » le vieillissement.
Cela s’applique, par exemple, à la durée de vie des composants électroniques.

En d’autres termes, soit (t; h) quelques fois, la probabilité que le phénomène soit « vivant » au temps (t + h), sachant qu’il est vivant au temps
.

On montre alors que pour vérifier cette égalité, une densité associée à X est une fonction f pour laquelle est définie
par où λ est une constante strictement positive.

• Définition 2

Soyez une constante strictement positive.
On dit qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle avec le paramètre λ activé
si sa densité de probabilité associée est la fonction f définie sur
par .

Remarques

• f (0) = λ.

• f est continue et positive .

• •

et .

Par conséquent .

Illustration:

• • Propriété 2

Soit X une variable aléatoire selon une loi exponentielle de paramètre λ.
Pour chaque intervalle [a ; b] contenu dans nous avons les suggestions suivantes:

.

Pour la preuve, il suffit de calculer, par exemple:
.

• Fonction 3

Soit X une variable aléatoire selon une loi exponentielle de paramètre λ.

L’espérance mathématique de X satisfait l’égalité suivante:
.

Démonstration (nécessaire pour une éventuelle restauration organisée des connaissances):

Sur une : .

Nous devons trouver une primitive de ce qui n’est pas facile.

► Nous devons essayer de « saisir » une fonction dérivée dans l’intégrale qui définit E (X).

Sur une : , donc .

• Cela donne l’idée de dériver: .

après avoir dérivé un produit: (uv) ‘= u’v + v’u.

Est: et nous avons: .

On obtient enfin: .

Et donc : .

• • Ainsi, sur un:

.

► Par conséquent: .

Ou λ> 0, donc et .

• • Il reste à calculer ::
oser .

En conclusion, une bonne .

Noter
Puisque f (0) = λ, il est facile d’utiliser la courbe de densité pour trouver E (X).





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