Au mathématiques, une entier relatif est un Nom de famille qui se présente comme totalement naturel auquel nous avons ajouté un signe positif ou négatif, qui indique sa position[1] par rapport à 0 sur un axe orienté. Les nombres entiers positif (supérieur à zéro) s’identifier avec entiers naturels : 0, 1, 2, 3 … tandis que les nombres entiers négatif sont-ils contraires : 0, −1, −2, −3… L’entier 0 lui-même est donc le seul nombre à la fois positif et négatif[2].

UNE nombre réel est entier quand il est sans Fractionc’est-à-dire si son Décimal ne contient pas de nombre (sauf zéro) « Après la virgule ».

Les entiers relatifs permettent d’exprimer que différence de deux nombres naturels quelconques. Entre autres significations de différence, on peut citer la position sur un axe aligné par rapport à un point de référence (un axe avec des positions) discretc’est-à-dire discontinu); Déplacement d’une position d’origine dans les deux sens; ou la variation d’une valeur entière, qui est donc comptée en unités (variation positive pour un profit, variation négative pour une perte).

L ‘ensemble les entiers relatifs sont notés[3] « AVEC « , Lettre capitale Grasse dans les textes tapé, progressivement remplacée par une notation manuscrite avec une barre oblique percé : « ℤ ». La présence d’un astérisque au ExposantsAVEC* ”) Désigne généralement l’ensemble des entiers relatifs non nuls, même si Cette notation est parfois utilisée[4] pour l’ensemble des éléments inversibles de AVEC[réf. souhaitée]c’est-à-dire la paire d’entiers {−1, 1}. La notation  » AVEC– – »Désigne l’ensemble des nombres entiers négatifs. Il est moins courant de trouver la notation  » AVEC+ « , Remplacé par la notation » N. «Les nombres naturels par identification.

Cette phrase est (le total) commandé pour la relation de comparaison habituelle, héritée des nombres naturels. Il est également doté des opérations d’addition et de multiplication qui forment la base du concept debague au algèbre.

Parfois, les entiers relatifs sont également appelés entiers rationnels[5],[6], Nom à ne pas confondre avec le Nombres rationnels ou des pauses. Ce nom vient de l’anglais entier rationnelet désigne un cas particulier deentiers algébriques, construit sur le Corps du numéro de rationnel. On retrouve ce nom à Nicolas Bourbaki[7] et quelques mathématiciens qui font partie du mouvement de mathématiques modernes, parmi eux Georges Papy.

La série de nombres

La droite numérique est utilisée pour représenter des entiers relatifs.

La principale raison de l’introduction nombres négatifs est la capacité de résoudre toutes les équations de la forme:

une + X = b, ou alors X est l’inconnu et une et b sont des paramètres.

Dans l’ensemble des nombres naturels, seules certaines de ces équations ont des solutions.

5 + X = 8 si et seulement si X = 3
9 + X = 4 n’a pas de solution dans l’ensemble des nombres naturels. Il a une solution dans l’ensemble des entiers relatifs qui est -5.

La première allusion aux nombres négatifs apparaît dans les textes indiens tels que l’Arybhatiya par le mathématicien indien Âryabhata (476-550), où sont définies les règles d’addition et de soustraction. Les nombres négatifs apparaissent alors comme des dettes et les nombres positifs comme des reçus. Des siècles plus tard dans les écrits du mathématicien persan Abu l-Wafa (940-998) on voit apparaître des produits avec des nombres négatifs grâce à des nombres positifs. Cependant, le nombre reste lié aux quantités physiques et le nombre négatif n’a qu’un statut faible. légal. Al Khuwarizmi (783-850) par exemple dans son travail Mise en œuvre et réduction préfère traiter 6 types d’équations quadratiques au lieu de considérer des soustractions.

En Europe, les chiffres relatifs apparaissent tardivement, ce que nous attribuons généralement Simon Stevin (1548-1620) le célèbre Règle des signes pour le produit de deux entiers relatifs. D’Alembert (1717-1783) lui-même dans leencyclopédie pense que le nombre relatif est une idée dangereuse.

« Il faut admettre que corriger l’idée de quantités négatives n’est pas facile, et que certaines personnes intelligentes ont même contribué à les confondre par les notions imprécises qu’elles en ont données. ce qui est inconcevable, ceux qui prétendent que 1 n’est pas comparable à -1[8], & le fait que le rapport entre 1 et -1 diffère du rapport entre -1 et 1 est dû à une double erreur […] Il n’y a donc pas de quantité négative réelle et absolument pas isolée: −3, pris abstraitement, ne donne aucun indice à l’esprit. «  »

– D’Alembert, Dictionnaire établi des sciences, des arts et de l’artisanat, vol. 11

Il a fallu attendre encore deux siècles et l’avènement du formalisme pour en voir un émerger construction formelle de l’ensemble des entiers relatifs à partir de classes d’équivalence de paires de nombres naturels.

C’est a Richard Dedekind (1831-1916) que nous devons cette construction. Il a lui-même utilisé la lettre K. pour désigner l’ensemble des entiers relatifs. À ce moment-là, plusieurs autres conventions étaient en place Nicolas Bourbaki Vulgariser l’utilisation de la lettre

AVEC{ displaystyle mathbb {Z}}

Initiale allemande Nombres (Des noms)[9].

Dans un nombre relatif, on différencie le signe (+ ou -) et le valeur absolue : −3 a une valeur absolue de 3.

additif[modifier | modifier le code]

La somme de deux nombres entiers de même signe s’obtient en additionnant les deux valeurs absolues et en conservant le signe commun:

(−3) + (−5) = −8, écriture, qui est abrégée par −3 – 5 = −8, supprimant le signe d’opération +.

La somme de deux entiers relatifs avec des signes opposés est obtenue en calculant la différence entre les deux valeurs absolues et en affectant le signe à l’entier avec la plus grande valeur absolue:

(+3) + (−5) = −2, où il est écrit que l’on raccourcit à 3 – 5 = −2.

multiplication[modifier | modifier le code]

Le résultat d’une multiplication s’appelle le produit. Le produit de deux nombres relatifs de même signe est toujours positif (+) et s’obtient en prenant le produit des valeurs absolues:

(+3) × (+4) = +12, qui est abrégé en 3 × 4 = 12
(-3) × (-7) = + 21 = 21

(Le + n’est pas obligatoire si le produit n’est pas négatif.)

Le produit de deux nombres relatifs avec des signes différents est toujours négatif (-) et résulte du produit des valeurs absolues

(+7) × (-4) = -28

Règle de dessin

plus multiplié par plusdonne le produit plus.
Moins multiplié par Moinsdonne le produit plus
Moins multiplié par plus ou alors plus multiplié par Moins donne le produit Moins

construction[modifier | modifier le code]

Tout AVEC les entiers relatifs peuvent être considérés comme ceux symétrisé du demi-anneau N. nombres naturels.

Une représentation d'une construction d'entiers relatifs.

Une représentation d’une construction d’entiers relatifs.

structure[modifier | modifier le code]

L’ensemble des entiers relatifs à utiliser avec son Lois L’addition et la multiplication sont le prototype du concept debague. C’est même un Bague euclidienneen référence à la Division euclidienne. Donc c’est aussi principal et factoriel.

Il peut être équipé du topologie discrète couplé à la distance habituelle induite par la valeur absolue de la différence, ce qui en fait un espace métrique Complètement. Les seules autres distances compatibles avec la structure en anneau sont que Distances p-adique, ou alors p est un nombre premier.

La structure de grouper Additif (AVEC, +) est un groupe monogénique sans rotation, c’est un groupe abelian gratuit de rang 1.

Tout AVEC est totalement ordonné pour la relation de commande habituelle.

Les entiers relatifs forment un taux dénombrable infini.

Extensions[modifier | modifier le code]

Tout AVEC d’entiers relatifs est immergé dans l’ensemble des Nombres décimaux, écrit RÉ.qui fait lui-même partie de la foule de Nombres rationnels Noter Q..

La notion d’entier est élargie par la définition de entiers algébriquesqui sont aux divers Corps du numéro Quels sont les entiers relatifs pour le champ des nombres rationnels? Les entiers rationnels, c’est-à-dire les entiers algébriques du champ des nombres rationnels, sont donc exactement les entiers relatifs.

Pour chacune des distances p-adic, l’achèvement de AVEC est un anneau de nombres entiers p-adic noté AVECpdont le champ fraction est le champ numérique p-adique, noté Q.p et qui contient Q..

Les nombres relatifs sont des nombres devenus relativement familiers. Vous êtes trouvé:

  • en faisant Ascenseurs où, par exemple, -2 désigne le deuxième sous-sol;
  • sur le thermomètre pour afficher les températures ci-dessous 0 ° C ;;
  • sur les relevés bancaires où, par exemple, -120 indique un découvert de 120 euros.
  1. De cette position par rapport à zéro vient l’adjectif «relatif» qui s’applique à ces nombres entiers.
  2. Selon certaines conventions différentes, notamment dans les pays anglo-saxons, l’entier zéro n’est ni positif ni négatif (voir (au) zéro).
  3. De’Allemand Nombres, « Des noms ».
  4. La confusion est évitée en utilisant Croix de multiplication et exposant: « AVEC× ».
  5. GH Hardy et EM Wright ((trad. aux Anglais de François Sauvageot, Pref. Catherine Goldstein), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »] [détail de l’édition], Chapitre 12.
  6. Mais le programme officiel d’agrégation de mathématiques, et le sujets Les correspondants utilisent le nom «entiers relatifs», qui est plus courant en France.
  7. Voir, par exemple, N. Bourbaki, Éléments mathématiques, AlgèbreCap. I, § 2, nÖ 5 (p. 28 ré ‘une ancienne version disponible en ligne) ou alors Roger Godement, Cours d’algèbre, § 5, nÖ 8ème.
  8. Paradoxe classique: si -1 <1 ist, werden die umkehrungen dieser beiden zahlen in umgekehrter reihenfolge angeordnet: umkehrung von -1 ist und 1 1, daher> 1. Paradoxe issu de la phrase incomplète « Les inversions de ces deux nombres seraient disposées dans l’ordre inverse », il faudrait « énoncer les inversions de deux nombres » du même signe sont disposés dans l’ordre inverse « . Voir l’article Fonction inverse pour plus d’informations.
  9. (au) Première utilisation des symboles dans la théorie des nombres.

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