Mot « DiviseurA deux significations dans mathématiques. UNE Classification est effectuée par un « dividende« et un »Diviseur»Et une fois l’opération terminée, le produit de « quotient« parler Diviseur a augmenté de « du repos«Égale le dividende. dans le arithmétique, une « DiviseurD’un ensemble n est un entier de celui-ci n est un plusieurs. Plus formel si et n sont deux nombres entiers, est un facteur de n seulement s’il y a un entier k comme dk = n. Donc 2 est un facteur de dix oser 2 × 5 = 10.

La notion de diviseur est liée à celle de plusieurs, parce que quand Uniformes n donc n est un multiple de et le concept de Divisibilité.

Le nom vient de l’opération arithmétique de Classification : et une, b sont des nombres entiers avec b pas zéro, et si c = a/.b il en est de même pour un entier une est le dividende, b le diviseur et c le quotient.

Si l’ensemble n est égal à zéro, divisé par un entier n.

Si l’ensemble n n’est pas nul, il a des diviseurs positifs et négatifs, mais pas de diviseurs nuls. Oui est un facteur de n donc – est également un facteur de n. Ces observations expliquent pourquoi on ne s’intéresse souvent qu’aux diviseurs positifs d’un entier positif. Ensuite, nous nous mettrons dans cette situation.

Diagramme de haine Diviseur de 60: une arête entre deux points d’angle indique que l’élément le plus bas est un diviseur de l’élément le plus élevé.

L’ensemble des diviseurs (positifs) de 10 est {1, 2, 5, 10} et celui de 60 est {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}. .

Et est un facteur de n, chaque diviseur de est également un facteur de n. Cette propriété induit une sorte de hiérarchie entre les diviseurs d’un entier qui peut être représenté comme Diagramme de haine.

Et n est égal à 1, n n’a qu’un seul facteur: 1.

Ensemble n strictement supérieur à 1 a au moins deux facteurs 1 et n qui sont appelés ses diviseurs triviaux. Un diviseur de n différent de n est un diviseur strict de n (ou aliquote – le terme Nettoyez la partition est parfois utilisé comme synonyme de diviseur strict, parfois de pas un diviseur trivial). Un nombre entier n qui a exactement deux facteurs s’appelle un nombre premier. Un diviseur majeur de n est appelé un diviseur majeur de n.

le Principe d’arithmétique stipule que tout entier strictement supérieur à 1 s’écrit uniquement comme le produit des puissances des nombres premiers qui sont leurs diviseurs premiers. Cette décomposition en Les facteurs Avec prime, tous les diviseurs de l’entier peuvent être listés. Oui

n=je=1kpjeuneje{ displaystyle n = prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ { alpha _ {i}}}

où le pje sont des nombres premiers différents et le uneje exposants entiers strictement positifs est un facteur de n si et seulement s’il y a des nombres entiers bje généralement compris entre 0 et uneje comme

=je=1kpjebje.{ displaystyle d = prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ { beta _ {i}}.}

La décomposition de 60 est donc

60=22×31×51{ displaystyle 60 = 2 ^ {2} fois 3 ^ {1} fois 5 ^ {1}}

et 10 est un facteur de 60 car il peut être écrit

dix=21×30×51.{ displaystyle 10 = 2 ^ {1} fois 3 ^ {0} fois 5 ^ {1}.}

Fonctions associées à l’ensemble des facteurs[modifier | modifier le code]

Il y a des fonctions d’un entier n créé à partir de toutes ses partitions. Les plus classiques sont les fonctions  » Nombre de diviseurs « Et » Somme des diviseurs ».

La fonction « nombre de diviseurs » spécifie le nombre ((n) Diviseur de n. Donc (10) = 4, (36) = 9 et (60) = 12. La factorisation première de n Avec cette fonction, vous pouvez attribuer une valeur explicite à cette fonction. Lorsque la décomposition de n est

n=je=1kpjeuneje{ displaystyle n = prod _ {i = 1} ^ {k} p_ {i} ^ { alpha _ {i}}}

donc

((n)=je=1k((uneje+1).{ displaystyle d (n) = prod _ {i = 1} ^ {k} ( alpha _ {i} +1).}

Les fonctions «somme des diviseurs» et «somme des diviseurs stricts» interviennent dans l’étude de nombres parfaits, abondant, mauvais nombres ou alors numéros amicauxun péché Aliquotes.

Vous faites partie de la grande famille des Fonctions du diviseur.

La définition du diviseur se généralise à un anneau commutatif : et une et b sont deux éléments d’un anneau UNE, b Uniformes une si et seulement s’il y a un élément c depuis A tel que une = avant JC[1].

Une attention particulière doit être accordée au concept de Diviseur de zéro. Selon la définition précédente, chaque élément est de UNE Devises 0UNE (élément neutre d’addition dans l’anneau A) car une × 0UNE = 0UNE. Dans un ring No. intégréil y a des éléments de UNE, différent de zéro, b et c comme avant JC = 0UNE. Ces éléments sont appelés diviseurs de zéro en UNE.

  1. Aviva Szpirglas, Algèbre L3: Terminez le cours avec 400 tests et exercices corrigés [détail de l’édition]Partie IV, chap. 9, I.5, p. 462.



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