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En géométrie euclidienne rhombe est un carré simple et convexe avec quatre côtés d’égale longueur. Un autre nom est un carré équilatéral, car le mot équilatéral signifie que toutes les arêtes ont la même longueur. Rhombus est également souvent appelé diamant en raison du diamant Jouer aux cartesqui ressemble à la projection d’un diamant octogonal. Chaque diamant est Parallélogrammes. Un diamant à angle droit est carré.[1][2]

Le mot «pastilles» vient du grec «rhombos» et signifie quelque chose qui tourne.[3] résultant du sens du verbe ῥέμβω (rhembō) «couper en cercle».[4] Le mot a été utilisé par les deux Euclidemais Archimèdequi utilise le terme «forme de diamant» pour deux formes circulaires droites cônepar un terrain d’entente.[5] La surface, appelée le diamant, est la section transversale de ce «corps de diamant» à travers chacun des sommets du cône.

Un carré est un cas particulier d’un diamant, tandis qu’un diamant est un cas particulier d’un «cerf-volant» et d’un parallélogramme.

Un quadrilatère convexe simple est un diamant si et seulement s’il est l’un des suivants:[6][7]

  • Parallélogrammesdont la diagonale est la bissectrice de l’angle intérieur
  • un parallélogramme avec au moins deux de ces arêtes de même longueur
  • Parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires (parallélogramme orthodiagonal)
  • un rectangle avec les quatre côtés de la même longueur (par définition)
  • un carré dans lequel chaque diagonale divise les deux angles intérieurs opposés en deux
  • un carré ABCD avec un point P dans ce plan de sorte que les triangles ABP, BCP, CDP et DAP soient similaires.[8]

Chaque diamant a deux diagonales qui relient deux côtés opposés et deux paires avec des bords parallèles. Utilisant similaire Triangleson peut montrer que le diamant est symétrique autour de chacune de ces diagonales. Il s’ensuit que chaque diamant a les propriétés suivantes:

  • Diamant opposé angle sont identiques
  • Les diagonales du diamant sont verticales, c’est-à-dire que le diamant est un carré orthodiagonal
  • La diagonale du diamant est la bissectrice
  • Tout diamant peut être indenté Ligne de cercle
  • La diagonale de chaque diamant est son axe de symétrie.

La première propriété indique que chaque diamant est un parallélogramme. Par conséquent, un diamant a toutes les propriétés d’un parallélogramme, par ex. B. les côtés opposés sont parallèles, les angles opposés sont égaux, les diagonales coupées en deux, chaque ligne tracée à travers une coupe diagonale divise la zone en deux parties égales et la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés (parallélogramme droit). Ainsi, le bord du diamant est désigné par

une{ displaystyle a}

et diagonales avec

p{ displaystyle p}

une

q{ displaystyle q}

Est obtenu

4eune2=p2+q2{ displaystyle 4a ^ {2} = p ^ {2} + q ^ {2}}

.

Tous les parallélogrammes ne sont pas un diamant, bien qu’un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires (la deuxième propriété) soit un diamant. En général, tout carré avec des diagonales perpendiculaires est un « dragon » ou Deltoïdeet tout carré qui est à la fois un dragon et un parallélogramme est un diamant.

Un losange est un carré tangentiel dans lequel un cercle peut être dessiné. [9]

Comme pour tous les parallélogrammes, le diamant carré S est le produit de Base et August. La base est absolument chaque bord de diamant a:

S.=uneH.{ displaystyle S = a cdot h.}

L’aire peut également être exprimée comme le carré du bord multiplié par le sinus de n’importe quel angle:

S.=une2sans pour autantune=une2sans pour autantb,{ displaystyle S = a ^ {2} cdot sin alpha = a ^ {2} cdot sin beta,}

ou le rapport du carré de la hauteur au sinus de l’angle:

S.=H2sans pour autantune,{ displaystyle S = { frac {h ^ {2}} { sin alpha}},}

ou la moitié de la multiplication diagonale:

S.=pq2,{ displaystyle S = { frac {p cdot q} {2}},}

ou comme le produit de deux fois le rayon du bord et le rayon de l’entaille:

S.=2uner.{ displaystyle S = 2a cdot r.}

Une autre possibilité, commune à un parallélogramme, est d’accepter deux arêtes adjacentes comme vecteurs qui forment « Biwektor » (en anglais) donc la zone est la même « Biwektor » La taille, qui à son tour est deux vecteurs « Cartésien » (en anglais) coordonnées Déterminants:: K. = X1Y.2 – – X2Y.1.[10]

Longueur des diagonales p = AC une q B. peut être exprimé comme

p=une2+2cosune{ displaystyle p = a { sqrt {2 + 2 cos { alpha}}}}

une

q=une2– –2cosune.{ displaystyle q = a { sqrt {2-2 cos { alpha}}}.}

Ces formules sont le résultat direct de Théorèmes cosinus.

Le rayon du cercle indenté, indiqué par rpeut être exprimé en diagonale p une q Aider:[9]

r=pq2p2+q2.{ displaystyle r = { frac {p cdot q} {2 { sqrt {p ^ {2} + q ^ {2}}}}.}

Le diamant d’un polygone est rectangle::[11]

  • Tous les côtés du diamant sont les mêmes tandis que tous les angles du rectangle sont les mêmes.
  • Les angles opposés du diamant sont les mêmes tandis que les côtés opposés du rectangle sont les mêmes.
  • Vous pouvez dessiner un cercle dans un diamant et vous pouvez dessiner un cercle dans un rectangle.
  • Un diamant a un axe de symétrie dessiné à travers des angles opposés tandis qu’un rectangle a un axe de symétrie dessiné à travers les centres des côtés opposés.
  • Les diagonales du diamant divisent l’angle au point d’intersection en deux parties égales, tandis que les diagonales du rectangle au point d’intersection se divisent en deux moitiés.
  • La forme formée en reliant les milieux des bords du diamant est un rectangle et vice versa.

Les arêtes du diamant, situées au centre (point de départ) avec les diagonales sur les axes, sont constituées de points qui satisfont l’équation suivante:

|Xune|+|Y.b|=1.{ displaystyle gauche | { frac {x} {a}} right | ! + gauche | { frac {y} {b}} right | ! = 1.}

Les points d’angle sont à

((±une,0){ displaystyle ( pm a, 0)}

une

((0,±b).{ displaystyle (0, pm b).}

Il s’agit d’un cas spécial de superellipse avec un exposant de 1.

  1. Noter: EuclideLa définition originale du diamant et certains dictionnaires anglais ne contiennent pas de carrés, mais les mathématiciens modernes préfèrent la définition inclusive.
  2. Eric W. Weisstein, carré, MathWorld. y compris l’utilisation
  3. rhombe, Henry George Liddell, Robert Scott, Un lexique grec-anglaissur Perseus
  4. ρέμβω, Henry George Liddell, Robert Scott, Un lexique grec-anglaissur Perseus
  5. « L’origine du diamant ». www.pballew.net. Archivé par original, Heure: 02-04-2015. Vues: 05/12/2017.
  6. Zalman Usiskin et Jennifer Griffin, «La classification des quadrilatères. Une étude de la définition», Information Age Publishing, 2008, pp. 55-56.
  7. Owen Byer, Felix Lazebnik et Deirdre Smeltzer, Méthodes de géométrie euclidienne, Association mathématique d’Amérique, 2010, p. 53.
  8. Paris Pamfilos (2016), « Une caractérisation du diamant », Forum Geometricorum 16Pp. 331–336, [1]
  9. 9,09,1 Eric W Weisstein. « Rhombe ». Vu: 05.12.2017..
  10. WildLinAlg épisode 4, Norman J. Wildberger, Univ. of New South Wales, 2010, conférence sur Youtube
  11. de Villiers, Michael, « Polygones circonscrits cycliques et équilatéraux équiangulaires », Fiche mathématique 95, mars 2011, 102-107.




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