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dans le algèbre, une Anneau de graduation, également appelé un Champ oblique, est un bague dans lequel division est possible. En particulier, c’est un différent de zéro bague[1] dans lequel chaque élément non nul une a un inverse multiplicatifc’est-à-dire un élément communément nommé une-1, de sorte que uneune-1 = une-1une = 1. Pour, division peut être défini comme une /. b = uneb-1, mais cette notation est généralement évitée car on peut avoir uneb-1b-1une.

Un anneau de division est généralement un anneau non commutatif. Il est commutatif si et seulement si c’est un champDans ce cas, le terme «anneau de graduation» est rarement utilisé, à l’exception des propriétés des anneaux de graduation, qui s’appliquent même si elles sont commutatives ou si une bague de graduation particulière est commutative. Par exemple, La petite phrase de Wedderburn prétend que tous les anneaux de séparation finis sont commutatifs et donc champs finis.

Dans le passé, les anneaux de division étaient parfois appelés champs tandis que les champs étaient appelés «champs commutatifs».[5] Dans certaines langues, telles que Françaisle mot « Feld » (« Korps ») est utilisé à la fois pour les cas commutatifs et non commutatifs, et la distinction entre les deux cas est faite en ajoutant des qualifications telles que « Korps commutatif » (champ commutatif) ou « Korps gauche » (skew champ).

Toutes les bagues de graduation sont simples, ce qui signifie qu’elles ne sont pas bilatérales idéal à côté de la Zéro idéal et lui-même.

Relation aux champs et algèbre linéaire[edit]

Tous les champs sont des anneaux de division; Des exemples plus intéressants sont les anneaux de division non commutatifs. L’exemple le plus connu est l’anneau de Quaternions H.. Si seulement nous permettons rationnel À la place de réel Les coefficients dans les constructions des quaternions nous obtenons un autre anneau de division. Généralement quand R. est une bague et S. est un module simple terminé R.puis de Lemme de Schur, les Anneau d’endomorphisme de S. est un anneau de division;[6] Chaque anneau diviseur est ainsi créé à partir d’un module simple.

Beaucoup de Algèbre linéaire peut être formulé et reste correct pour Modules via un anneau de séparation RÉ. À la place de Espaces vectoriels sur un champ. Il faut indiquer si les modules de droite ou de gauche sont envisagés, et il faut prendre soin de distinguer correctement la gauche et la droite dans les formules. Lorsque vous travaillez en coordonnées, les éléments d’un module de droite fini peuvent être représentés par des vecteurs colonnes, qui peuvent être multipliés par des scalaires à droite et des matrices (qui représentent des cartes linéaires) à gauche. Pour les éléments d’un module gauche de dimension finie, il faut utiliser des vecteurs lignes qui peuvent être multipliés à gauche avec des scalaires et à droite avec des matrices. Le double d’un module droit est un module gauche et vice versa. La transposition d’une matrice doit être vue comme une matrice sur l’anneau de graduation opposé RÉ.sur d’accord pour la règle ((DE)T. = B.T.UNET. reste valide.

Chaque module a un anneau de séparation libre;; ie a une base et toutes les bases d’un module avoir le même nombre d’éléments. Les mappages linéaires entre des modules de dimension finie sur un anneau de division peuvent être décrits par Matrices;; Le fait que les cartes linéaires par définition oscillent avec la multiplication scalaire est le plus commodément représenté dans la notation en les écrivant sur le opposé Les côtés des vecteurs sont comme des scalaires. le Élimination gaussienne L’algorithme reste applicable. Le rang de colonne d’une matrice est la dimension du module de droite généré par les colonnes, et le rang de ligne est la dimension du module de gauche généré par les lignes. La même preuve que pour le cas de l’espace vectoriel peut être utilisée pour montrer que ces rangs sont égaux et pour définir le rang d’une matrice.

En fait, le contraire est également vrai et cela donne un Caractérisation des bagues de graduation à propos de leur catégorie de module: Un anneau unital R. est un anneau diviseur si et seulement si chaque R-module est libre.[7]

le centre d’un anneau diviseur est commutatif et donc un champ.[8] Chaque bague de graduation est donc un Algèbre de division à travers son centre. Les anneaux de graduation peuvent être grossièrement classés selon qu’ils sont ou non finis ou infinis en termes de leurs centres. Les premiers sont appelés enfin central et ce dernier infini central. Chaque champ est bien entendu unidimensionnel au-dessus de son centre. L’anneau de Quaternions hamiltoniens forme une algèbre à 4 dimensions au-dessus de son centre, qui est isomorphe aux nombres réels.

Exemples[edit]

  • Comme mentionné ci-dessus, tous Des champs sont des bagues de graduation.
  • le Quaternions forment un anneau diviseur non commutatif.
  • Le sous-ensemble des quaternions une + avec un + cj + dk, de sorte que une, b, c, et appartiennent à un sous-champ fixe de nombres réelsest un anneau de partition non commutatif. Si ce sous-champ est le champ de Nombres rationnels, c’est l’anneau de division de quaternions rationnels.
  • Laisser

Clauses principales[edit]

La petite phrase de Wedderburn: Tous les anneaux de division finie sont commutatifs et donc champs finis. ((Ernst Witt a donné une preuve simple.)

Théorème de Frobenius: Les seules algèbres de division associative de dimension finie sur les réels sont les réels eux-mêmes, les nombres complexes, et le Quaternions.

Termes connexes[edit]

Anneaux de graduation était plus tôt dans un usage plus ancien appelé « champs ». Dans de nombreuses langues, un mot signifiant «corps» est utilisé pour les anneaux de partition, certains langages désignant des anneaux de partition commutatifs ou non, tandis que d’autres se réfèrent spécifiquement aux anneaux de partition commutatifs (ce que nous appelons maintenant Anglais). Une comparaison plus complète peut être trouvée dans l’article sur Des champs.

Le nom « Skew Field » a un nom intéressant sémantiquement Fonctionnalité: un modificateur (ici « Skew ») se développe la portée du terme de base (ici «champ»). Ainsi, un champ est un certain type de champ de décalage, et tous les champs de décalage ne sont pas des champs.

Alors que les anneaux de division et les algèbres sont supposés avoir une multiplication associative comme discuté ici, algèbres de division non associatives comme ça Octonions sont également intéressants.

UNE Champ proche est une structure algébrique similaire à un anneau diviseur, sauf qu’elle n’a qu’un seul des deux Lois de distribution.

  1. ^ Dans cet article, les anneaux ont un 1.
  2. ^ 1948, anneaux et idéaux. Northampton, Mass., Association mathématique d’Amérique
  3. ^ Artin, Emil, 1965: documents rassemblés. Edité par Serge Lang, John T. Tate. New York et coll.: Springer
  4. ^ Brauer, Richard, 1932: À propos de la structure algébrique des corps obliques. Journal de mathématiques pures et appliquées 166.4, 103-252
  5. ^ Dans le monde anglophone, les termes « Skew Field » et « Sfield » ont été mentionnés en 1948 par Neal McCoy [2] comme « parfois utilisé dans la littérature » et depuis 1965 Skewfield a une entrée dans le ÂGE. Le terme allemand Corps oblique [de] est documenté comme une suggestion par vd Waerden, dans un texte de 1927 par E. Artin,[3] et a été utilisé par E. Noether comme titre de la conférence 1928.[4]
  6. ^ Lam (2001), Lemme de Schur, p. 33, à Livres Google.
  7. ^ Grillet, Pierre Antoine. Algèbre abstraite. Volume 242. Springer Science & Business Media, 2007; des preuves peuvent être trouvées Ici
  8. ^ Les anneaux commutatifs simples sont des champs. Voir Lam (2001), anneaux commutatifs simples, p. 39, à Livres Google et Exercice 3.4, p. 45, à Livres Google.
  9. ^ Lam (2001), p. dix

Voir également[edit]

Références[edit]

lecture supplémentaire[edit]

Liens externes[edit]



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