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Algèbre sur un champ avec uniquement des éléments inversibles et zéro

Dans la région de mathématiques appelé algèbre abstraite, une Algèbre de division est à peu près un Algèbre sur un champ dans lequel division, sauf à zéro, est toujours possible.

Définitions[edit]

Formellement, nous commençons avec un différent de zéro algèbre RÉ. à propos de champ. Nous appelons RÉ. une Algèbre de division si pour n’importe quel article une dans le RÉ. et tout élément non nul b dans le RÉ. il y a exactement un élément X dans le RÉ. Avec une = bx et exactement un élément et dans le RÉ. de sorte que une = yb.

À la algèbres associativesla définition peut être simplifiée comme suit: Une algèbre associative non nulle sur un champ est un Algèbre de division alors et seulement si il a un multiplicatif Élément d’identité 1 et tout élément non nul une a un inverse multiplicatif (c’est-à-dire un élément X Avec Hache = loin = 1).

Algèbres de division associative[edit]

Les exemples les plus connus d’algèbres de division associative sont les réels de dimension finie (c’est-à-dire les algèbres sur le champ) R. de nombres réelsqui sont finisdimensionnel avoir un Espace vectoriel sur les réels). le Théorème de Frobenius stipule que Jusqu’à Isomorphisme Il existe trois de ces algèbres: le réel lui-même (dimension 1), le champ de nombres complexes (Dimension 2) et le Quaternions (Dimension 4).

La petite phrase de Wedderburn indique que si RÉ. est donc une algèbre à division finie RÉ. est un champ fini.[1]

Au cours d’une champ algébriquement clos K. (par exemple le nombres complexes C.) il n’y a pas d’algèbres de division associative de dimension finie sauf K. soi.[2]

Les algèbres de division associative n’en ont aucune Zéro diviseur. UNE dimension finie unital algèbre associative (sur n’importe quel champ) est une algèbre de division alors et seulement si Il n’a pas de diviseur nul.

N’importe quand UNE est un associatif algèbre unitale au dessus de champ F. et S. est un module simple terminé UNE, alors c’est Anneau d’endomorphisme de S. une algèbre de division est terminée F.;; toute algèbre de division associative sur F. se pose de cette manière.

le centre une algèbre de division associative RÉ. sur le terrain K. est un champ avec K.. La dimension d’une telle algèbre au-dessus de son centre, si elle est finie, est un Un carré parfait: il est égal au carré de la dimension d’un sous-champ maximum de RÉ. au milieu. Étant donné un champ F., les Équivalence de brasseur Classes d’algèbres de division associative simples (ne contient que des idéaux bilatéraux triviaux) dont le centre est F. et qui sont de dimension finie F. peut être transformé en un groupe qui Groupe brasseur du champ F..

Une possibilité de construire des algèbres de division associative de dimension finie sur des champs arbitraires est que Algèbres du quaternion (voir également Quaternions).

Pour les algèbres de division associative de dimension infinie, les cas les plus importants sont ceux où l’espace a quelque chose de raisonnable topologie. Voir par exemple algèbres de division normalisées et Algèbres de Banach.

Algèbres de division pas nécessairement associatives[edit]

Si l’algèbre de division n’est pas supposée associative, il s’agit généralement d’une condition plus faible (par ex. alternative ou Associativité du pouvoir) est imposée à la place. Voir Algèbre sur un champ pour une liste de ces conditions.

Il n’y a que deux unités au-dessus du réel (jusqu’à l’isomorphisme) commutatif Algèbres de division de dimension finie: les réalités elles-mêmes et les nombres complexes. Celles-ci sont bien entendu toutes deux associatives. Pour un exemple non associatif, considérons les nombres complexes avec multiplication définis par l’utilisation de Conjugaison compliquée la multiplication habituelle:

Cette est une algèbre de division commutative non associative de dimension 2 sur le réel et qui n’a pas d’élément unitaire. Il existe une infinité d’autres algèbres de division réelle commutatives, non associatives et de dimension finie non isomorphes, mais toutes ont une dimension 2.

En fait, toute algèbre de partition commutative réelle de dimension finie est à 1 ou 2 dimensions. Ceci est connu comme Hopfs Théorème, et a été prouvé en 1940. La preuve des méthodes utilisées topologie. Bien que des preuves ultérieures aient été trouvées avec géométrie algébriqueaucune preuve algébrique directe n’est connue. le Principe de l’algèbre est une conséquence du théorème de Hopf.

Hopf a abandonné l’exigence de commutativité et a généralisé son résultat: toute algèbre de division réelle de dimension finie doit avoir une puissance de 2.

Des travaux ultérieurs ont montré qu’en fait toute algèbre de division réelle de dimension finie doit avoir des dimensions 1, 2, 4 ou 8. Cela a été prouvé indépendamment Michel Kervaire et John Milnor en 1958 à nouveau avec des techniques de topologie algébrique, spécial Théorie K. Adolf Hurwitz avait montré en 1898 que l’identité

qq¯=Somme des carrés{ displaystyle q { overline {q}} = { text {somme des carrés}}}

tenu uniquement pour les dimensions 1, 2, 4 et 8.[3] (Voir La sentence de Hurwitz.) Le défi de la construction d’une algèbre de division tridimensionnelle a été relevé par plusieurs premiers mathématiciens. Kenneth O. May a examiné ces tentatives en 1966.[4]

Toute algèbre dimensionnelle finie réelle de division sur le réel doit être

  • isomorphe à R. ou C. si uniforme et commutatif (équivalent: associatif et commutatif)
  • isomorphe aux quaternions, sinon commutatif, mais associatif
  • isomorphe à Octonions sinon associatif mais alternative.

Ce qui suit est connu sur la dimension d’une algèbre de division de dimension finie UNE sur un champ K.::

  • faible UNE = 1 si K. est fermé algébriquement,
  • faible UNE = 1, 2, 4 ou 8 si K. est vraiment fermé, et
  • Si K. Si ni algébriquement ni réel fermé, alors il y a une infinité de dimensions dans lesquelles existent des algèbres de division K..

Voir également[edit]

Références[edit]

Liens externes[edit]



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